本文目录一览：
- 1、高阶微分方程组的解法
- 2、高阶线性微分方程怎么解？
- 3、高阶常微分方程解法
- 4、可降阶的高阶微分方程
- 5、高阶线性微分方程求解
- 6、什么是高阶常微分方程
高阶微分方程组的解法
一、 型的微分方程特征：该类方程仅含未知函数的n阶导数y(n) ，不含未知函数y。方法：通过n次积分就可得到方程的通解。举例：例1． 解方程 解：对原方程积分有再积分有： 所以原方程的通解为例2．试求 的经过M（0，1）点，且在该点与直线 相切的积分曲线。解：对方程 两端积分有 由初始条件知 X＝0时 代入 对方程 两端再积分有由初始条件x=0,y=1,知C2=1故所求曲线为 型的微分方程特征：此类方程的特点是，方程右端不显含未知函数y。方法：令 则有 代入原方程得： 得到一个关于自变量X和未知函数P(X)的一阶微分方程，求出其通解P＝P（X,C1,）则有 再积分一次就能得原方程的通解举例：例3，求方程 的通解解：设 代入原方程可得： 分离变量则有 即： 得：y=C1ln|x|+C2 为原方程之通解(C1,C2为任意实数)例4．求方程 满足初始条件的特解解：设 则 所以原方程可写成： 分离变量则有： 两边积分即： 由初始条件：y |x=0=3得C1＝3有y ＝3（x2+1）积分得y=x3+3x+c2再由初始条件y |x=0=1得C2＝1故所求特解为y=x3+3x+1三、 型的微分方程特征：此类方程的特点是，方程中不显含自变量X。方法：令 ，注意到方程中含有y而不含x，想法令代换后出现dy，而不出现dx，则有原方程可化成 该方程为关于变量y，p的一阶微分方程，从方程中求得P，最后再确定原方程的解y=y(x.c1,c2 ).举例例5，解方程 解：设 （要注意设法与“＝”的不同处）于是原方程为 当P＝0时，由方程得y=c当 所以 所以 积分得，原方程的通解为： 例 6：解方程 解：设 所以有 若p=0有y=c若p≠0有 所以－ln|1-p|=ln|y|-lnc1即y(1-p)=c1即 所以有 原方程的通解为y+c1ln|y-c1|=x+c2例7，解方程 解，该方程中既缺x，又缺y，按理说按类型二或类型三都行，若按类型二，令 ， 代入原方程有 。该积分稍有些麻烦故可按类型三解此题令 代入原方程有 所以有： 积分得 整理得： 所以有： 即： 整理得：（x+c2）2+(y+c1)2=1即为原方程之通解，其解曲线为一单位圆。四、课堂练习1、求微分方程 的通解2、形如 的微分方程 求其通解。答案：1、因方程中缺少函数y，则可设 ,则 于是有： 为一个贝努利方程，变形有则 有 该方程是z关于x的一阶线性非齐次方程，可以采用常数变易法求出其通解：先求对应的齐次微分方程 的通解。 为非齐次微分方程 的解代入得 即 所以 于是非齐次微分方程 的通解为 由原题设知 即 再积分得原方程的通解为：2、因方程缺少自变量x，则可设 则 代入方程有整理： 当 则有 即有 有 则原方程的通解为 可验证p=0，p=1时，y=c，y=x也是方程的解，即补解
高阶线性微分方程怎么解？
1、
型的微分方程
形如
的方程，这类方程只要逐次积分n次就可以得到其通解，每积分一次得到一个任意常数，在通解中含有n个任意常数。
2、y'=f（x，y'）型的微分方程
形如y'=f（x，y'）型的方程，这类方程的特点是右端函数不显含未知函数y。如果设y'=p，则y''=dp/dx=p'，微分方程变为p'=f（x，p），这是一个关于变量x，p的一阶微分方程。
设其通解为p=φ（x，C1），由于p=dy/dx，因此又得到一个一阶微分方程dy/dx=φ（x，C1）,两边积分，便得到方程式y'=f（x,y'） 的通解为
3、y''=f（y，y'）型的微分方程
形如y''=f（y，y'） 型的方程，这类方程的特点是右端函数不显含自变量x。
设y'=p，这时可以将y看作新的自变量，p作为y的函数，则有
于是微分方程就变为
这是一个关于变量y，p的一阶微分方程，设它的通解为p=φ（x，C1），即y'=φ（y，C1）， 将方程分离变量并积分，便得到y''=f（y，y'）的通解为
扩展资料
二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。
二阶微分：若dy=f'(x)dx可微时，称它的微分d（dy）为y的二阶微分，当二阶微分可微时，称它的微分为三阶微分，一般的，当y的n-1阶微分可微时，称它的微分为n阶微分。
二阶微分：
若dy=f'（x）dx可微时，称它的微分d（dy）为y的二阶微分，记为d²y，当d²y可微时，称它的微分d（d²y）为y的三阶微分，记为d³y，一般地，当y的n-1阶微分dⁿ⁻¹y 可微时，称n-1阶微分的微分称为n阶微分，记作dⁿy。
参考资料来源：百度百科-高阶微分
参考资料来源：百度百科-高阶微分方程
高阶常微分方程解法
一般来说，高阶微分方程的求解比较复杂，在此仅介绍几种容易求解的类型，这几种方程的解法思路主要是利用变换将高阶方程化为较低阶的方程，将这种方法称为降阶法（method of reduction of order）。
一
型的微分方程
形如的方程，这类方程只要逐次积分n次就可以得到其通解，每积分一次得到一个任意常数，在通解中含有n个任意常数。
二
型的微分方程
形如型的方程，这类方程的特点是右端函数不显含未知函数y。
如果设，则，微分方程变为，这是一个关于变量x，p的一阶微分方程。
设其通解为，由于，因此又得到一个一阶微分方程，两边积分，便得到方程式的通解为。
三
型的微分方程
形如型的方程，这类方程的特点是右端函数不显含自变量x。
设，这时可以将y看作新的自变量，p作为y的函数，则有，于是微分方程就变为，这是一个关于变量y，p的一阶微分方程，设它的通解为，即，将方程分离变量并积分，便得到的通解为。[2]
可降阶的高阶微分方程
可降阶的高阶微分方程：(dp/dy)+p=1/p，微分方程是指含有未知函数及其导数的关系式，解微分方程就是找出未知函数，微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。
微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。
数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。
高阶线性微分方程求解
我们通常将含有二阶或二阶以上导数的微分方程称为高阶微分方程，把形如 [ 不恒为0]的方程称为非齐次线性微分方程，形如 的方程称为齐次线性微分方程。
设 是上述齐次线性微分方程的两个线性无关的解，则该方程的通解为 。非齐次线性微分方程的通解为 ，其中 是对应齐次线性微分方程的通解， 是非齐次线性微分方程的一个特解。
我们将形如 的方程称为常系数齐次线性微分方程，其特征方程为 ，设方程的根为 。
当 时，通解为 ；
当 时，通解为 ；
当 ， 时，通解为 。
我们将形如 的方程称为常系数非齐次线性微分方程，其求解步骤为：
（1）求出对应齐次线性微分方程 的通解Y；
（2）用待定系数法求出非齐次线性微分方程 的一个特解 ；
（3）当 时，设特解 ，其中按 不是 的根、是单根、是二重根。k分别取0，1，2；
当 时，设特解
其中按 不是 的根、是特征根， k分别取0，1， 与 是 m次多项式，但其系数不同， 。
什么是高阶常微分方程
如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量,这个方程就叫做常微分方程,也可以简单地叫做微分方程.
高阶常微分方程就是自变量的次数大于一次的常微分方程了.
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