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双曲线焦点三角形面积公式推导是什么?
设∠F₁PF₂=α
双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1
因为P在双曲线上，由定义|PF₁-PF₂|=2a
在焦点三角形中，由余弦定理得
F₁F₂的平方=PF₁平方+PF₂平方-2PF₁PF₂cosα
=|PF₁-PF₂|平方+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα
(2c)^2=(2a)^2+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα
PF₁PF₂=[(2c)^2-(2a)^2]/2(1-cosα)
=2b^2/(1-cosα)
三角形的面积公式=1/2PF₁PF₂sinα
=b^2sinα/(1-cosα)
=b^2cot(α/2)
特征介绍
分支
可以从图像中看出，双曲线有两个分支。当焦点在x轴上时，为左轴与右轴；当焦点在y轴上时，为上轴与下轴。
焦点
在定义1中提到的两个定点称为该双曲线的焦点，定义2中提到的一给定点也是双曲线的焦点。双曲线有两个焦点。焦点的横（纵）坐标满足c=a+b。
双曲线焦点三角形面积公式
双曲线焦点三角形面积公式：S=b²cot（θ/2）。一般的，双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。a还叫做双曲线的实半轴。焦点位于贯穿轴上，它们的中间点叫做中心，中心一般位于原点处。
三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）。
双曲线焦点三角形面积公式是啥
设∠f
pf
=α
双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1
因为p在双曲线上，由定义|pf
-pf
|=2a
在焦点三角形中，由余弦定理得
f
f
的平方=pf
平方+pf
平方-2pf
pf
cosα
=|pf
-pf
|平方+2pf
pf
-2pf
pf
cosα
(2c)^2=(2a)^2+2pf
pf
-2pf
pf
cosα
pf
pf
=[(2c)^2-(2a)^2]/2(1-cosα)
=2b^2/(1-cosα)
三角形的面积公式=1/2pf
pf
sinα
=b^2sinα/(1-cosα)
=b^2cot(α/2)
双曲线焦点三角形基本公式
【题1】 已知F1，F2是双曲线4(x2)－y2＝1的两个焦点，P是双曲线上一点，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是()．
A．1 B．2(5) C．2 D．
A 解析：解法一：设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，[来源:学_科_网]
由双曲线的定义可知|d1－d2|＝4．又∠F1PF2＝90°，
于是有d1(2)＋d2(2)＝|F1F2|2＝20，
因此，＝2(1)d1d2＝4(1)(d1(2)＋d2(2)－|d1－d2|2)＝1．
解法二：由4(x2)－y2＝1，知|F1F2|＝2．
设P点的纵坐标为yP，由于∠F1PF2＝90°，则P在以|F1F2|为直径的圆上，即在x2＋y2＝5上．[来源:学科网]
由x2－4y2＝4，(x2＋y2＝5，)消去x得|yP|＝5(5)．
故△F1PF2的面积S＝2(1)|F1F2|·|yP|＝1．
【题2】 已知有相同两焦点F1、F2的椭圆m(x2)＋y2＝1(m1)和双曲线n(x2)－y2＝1(n0)，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是()
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．随m、n变化而变化
【解析】 ∵|PF1|＋|PF2|＝2，|PF1|－|PF2|＝±2，又m－1＝n＋1，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝2(m＋n)＝4(m－1)＝|F1F2|2.
【答案】 B
【题3】 已知双曲线a2(x2)－b2(y2)＝1(a0，b0)，其焦点为F1、F2，过F1作直线交双曲线同一支于A、B两点，且|AB|＝m，则△ABF2的周长是()
A．4a B．4a－m
C．4a＋2m D．4a－2m
[答案] C
【题4】 已知双曲线9(x2)－16(y2)＝1的左、右焦点分别为F1、F2，若双曲线上一点P使∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是()
A．12 B．16 C．24 D．32
[答案] B
[解析] 由定义||PF1|－|PF2||＝6，
∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∵|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，
∴|PF1||PF2|＝32，
∴S△PF1F2＝2(1)|PF1|·|PF2|＝16.
【题5】 已知双曲线C：9(x2)－16(y2)＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P为C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于()
A．24 B．36 C．48 D．96
[答案] C
[解析] 依题意得|PF2|＝|F1F2|＝10，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝6，∴|PF1|＝16，因此△PF1F2的面积等于2(1)×16×2(16)＝48，选C.
【题6】 已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，P点在C上，∠F1PF2＝60°，则P到x轴的距离为()
A.2(3) B.2(6)
C. D.
解析 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨设mn，P(x，y)，|PF1|－|PF2|＝m－n＝2.在△F1PF2中，由余弦定理得
(2)2＝m2＋n2－2mncos60°，
∴8＝(m－n)2＋mn.
∴mn＝4.
由△F1PF2的面积相等，得
2(1)×2×|y|＝2(1)mnsin60°，
即|y|＝2(1)×4×2(3).
∴|y|＝2(6).
即P到x轴的距离为2(6).
答案 B
【题7】 椭圆49(y2)＋24(x2)＝1与双曲线y2－24(x2)＝1有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为 ()
A．48 B．24
C．24 D．12
解析：由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,5)和F2(0，－5)，又由椭圆与双曲线的定义可得
||PF1|－|PF2||＝2，(|PF1|＋|PF2|＝14，)所以|PF2|＝6，(|PF1|＝8，)或|PF2|＝8.(|PF1|＝6，)
又|F1F2|＝10，
∴△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°.
因此△PF1F2的面积S＝2(1)|PF1||PF2|＝2(1)×6×8＝24.
答案：B
【题8】 已知点P是双曲线a2(x2)－b2(y2)＝1(a0，b0)右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＝S△IPF2＋2(1)S△IF1F2成立，则双曲线的离心率为()
A．4 B．2(5) C．2 D．3(5)
【解析】 由S△IPF1＝S△IPF2＋2(1)S△IF1F2得，|PF1|＝|PF2|＋2(1)×2c，P是右支上的点，所以|PF1|＝|PF2|＋2a，即有2(1)×2c＝2a，e＝2，选C.
【答案】 C
双曲线焦点三角形面积公式推导
双曲线焦点三角形面积公式推导方法是：设双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，根据余弦定理，F1F2^2=PF1^2+PF2^2-2|PF1||PF2|cosθ，||PF1|-|PF2||=2a，|F1F2|=2c，4c^2=4a^2+2|PF1||PF2|（1-cosθ），所以S△PF1F2=1/2|PF1||PF2|sinθ=b^2cot（θ/2）。
在数学中，双曲线（多重双曲线或双曲线）是位于平面中的一种平滑曲线，由其几何特性或其解决方案组合的方程定义。双曲线有两片，称为连接的组件或分支，它们是彼此的镜像，类似于两个无限弓。双曲线是由平面和双锥相交形成的三种圆锥截面之一。如果平面与双锥的两半相交，但不通过锥体的顶点，则圆锥曲线是双曲线。双曲线的每个分支具有从双曲线的中心进一步延伸的更直（较低曲率）的两个臂。对角线对面的手臂，一个从每个分支，倾向于一个共同的线，称为这两个臂的渐近线。
双曲线焦点三角形性质：
1、双曲线焦三角形中，非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线。
2、双曲线焦三角形中，过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交，则以两交点为直径的圆必过两焦点。
3、双曲线焦三角形中，以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切。
4、双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点。
5、双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值a+c与a-c。
6、双曲线焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c。
7、双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e。