本文目录一览：
- 1、双曲线焦点三角形的面积公式
- 2、双曲线焦点三角形面积公式推导是什么?
- 3、双曲线焦点三角形面积公式推导
- 4、双曲线焦点三角形面积公式
- 5、双曲线焦点三角形面积公式是啥
- 6、焦点三角形面积公式是什么？
双曲线焦点三角形的面积公式
设∠F₁PF₂=α
双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1
因为P在双曲线上，由定义|PF₁-PF₂|=2a
在焦点三角形中，由余弦定理得
F₁F₂的平方=PF₁平方+PF₂平方-2PF₁PF₂cosα
=|PF₁-PF₂|平方+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα
(2c)^2=(2a)^2+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα
PF₁PF₂=[(2c)^2-(2a)^2]/2(1-cosα)
=2b^2/(1-cosα)
三角形的面积公式=1/2PF₁PF₂sinα
=b^2sinα/(1-cosα)
=b^2cot(α/2)
双曲线焦点三角形面积公式推导是什么?
设∠F₁PF₂=α
双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1
因为P在双曲线上，由定义|PF₁-PF₂|=2a
在焦点三角形中，由余弦定理得
F₁F₂的平方=PF₁平方+PF₂平方-2PF₁PF₂cosα
=|PF₁-PF₂|平方+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα
(2c)^2=(2a)^2+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα
PF₁PF₂=[(2c)^2-(2a)^2]/2(1-cosα)
=2b^2/(1-cosα)
三角形的面积公式=1/2PF₁PF₂sinα
=b^2sinα/(1-cosα)
=b^2cot(α/2)
特征介绍
分支
可以从图像中看出，双曲线有两个分支。当焦点在x轴上时，为左轴与右轴；当焦点在y轴上时，为上轴与下轴。
焦点
在定义1中提到的两个定点称为该双曲线的焦点，定义2中提到的一给定点也是双曲线的焦点。双曲线有两个焦点。焦点的横（纵）坐标满足c=a+b。
双曲线焦点三角形面积公式推导
双曲线焦点三角形面积公式推导方法是：设双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，根据余弦定理，F1F2^2=PF1^2+PF2^2-2|PF1||PF2|cosθ，||PF1|-|PF2||=2a，|F1F2|=2c，4c^2=4a^2+2|PF1||PF2|（1-cosθ），所以S△PF1F2=1/2|PF1||PF2|sinθ=b^2cot（θ/2）。
在数学中，双曲线（多重双曲线或双曲线）是位于平面中的一种平滑曲线，由其几何特性或其解决方案组合的方程定义。双曲线有两片，称为连接的组件或分支，它们是彼此的镜像，类似于两个无限弓。双曲线是由平面和双锥相交形成的三种圆锥截面之一。如果平面与双锥的两半相交，但不通过锥体的顶点，则圆锥曲线是双曲线。双曲线的每个分支具有从双曲线的中心进一步延伸的更直（较低曲率）的两个臂。对角线对面的手臂，一个从每个分支，倾向于一个共同的线，称为这两个臂的渐近线。
双曲线焦点三角形性质：
1、双曲线焦三角形中，非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线。
2、双曲线焦三角形中，过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交，则以两交点为直径的圆必过两焦点。
3、双曲线焦三角形中，以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切。
4、双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点。
5、双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值a+c与a-c。
6、双曲线焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c。
7、双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e。
双曲线焦点三角形面积公式
【题1】 已知F1，F2是双曲线4(x2)－y2＝1的两个焦点，P是双曲线上一点，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是()．
A．1 B．2(5) C．2 D．
A 解析：解法一：设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，[来源:学_科_网]
由双曲线的定义可知|d1－d2|＝4．又∠F1PF2＝90°，
于是有d1(2)＋d2(2)＝|F1F2|2＝20，
因此，＝2(1)d1d2＝4(1)(d1(2)＋d2(2)－|d1－d2|2)＝1．
解法二：由4(x2)－y2＝1，知|F1F2|＝2．
设P点的纵坐标为yP，由于∠F1PF2＝90°，则P在以|F1F2|为直径的圆上，即在x2＋y2＝5上．[来源:学科网]
由x2－4y2＝4，(x2＋y2＝5，)消去x得|yP|＝5(5)．
故△F1PF2的面积S＝2(1)|F1F2|·|yP|＝1．
【题2】 已知有相同两焦点F1、F2的椭圆m(x2)＋y2＝1(m1)和双曲线n(x2)－y2＝1(n0)，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是()
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．随m、n变化而变化
【解析】 ∵|PF1|＋|PF2|＝2，|PF1|－|PF2|＝±2，又m－1＝n＋1，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝2(m＋n)＝4(m－1)＝|F1F2|2.
【答案】 B
【题3】 已知双曲线a2(x2)－b2(y2)＝1(a0，b0)，其焦点为F1、F2，过F1作直线交双曲线同一支于A、B两点，且|AB|＝m，则△ABF2的周长是()
A．4a B．4a－m
C．4a＋2m D．4a－2m
[答案] C
【题4】 已知双曲线9(x2)－16(y2)＝1的左、右焦点分别为F1、F2，若双曲线上一点P使∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是()
A．12 B．16 C．24 D．32
[答案] B
[解析] 由定义||PF1|－|PF2||＝6，
∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∵|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，
∴|PF1||PF2|＝32，
∴S△PF1F2＝2(1)|PF1|·|PF2|＝16.
【题5】 已知双曲线C：9(x2)－16(y2)＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P为C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于()
A．24 B．36 C．48 D．96
[答案] C
[解析] 依题意得|PF2|＝|F1F2|＝10，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝6，∴|PF1|＝16，因此△PF1F2的面积等于2(1)×16×2(16)＝48，选C.
【题6】 已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，P点在C上，∠F1PF2＝60°，则P到x轴的距离为()
A.2(3) B.2(6)
C. D.
解析 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨设mn，P(x，y)，|PF1|－|PF2|＝m－n＝2.在△F1PF2中，由余弦定理得
(2)2＝m2＋n2－2mncos60°，
∴8＝(m－n)2＋mn.
∴mn＝4.
由△F1PF2的面积相等，得
2(1)×2×|y|＝2(1)mnsin60°，
即|y|＝2(1)×4×2(3).
∴|y|＝2(6).
即P到x轴的距离为2(6).
答案 B
【题7】 椭圆49(y2)＋24(x2)＝1与双曲线y2－24(x2)＝1有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为 ()
A．48 B．24
C．24 D．12
解析：由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,5)和F2(0，－5)，又由椭圆与双曲线的定义可得
||PF1|－|PF2||＝2，(|PF1|＋|PF2|＝14，)所以|PF2|＝6，(|PF1|＝8，)或|PF2|＝8.(|PF1|＝6，)
又|F1F2|＝10，
∴△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°.
因此△PF1F2的面积S＝2(1)|PF1||PF2|＝2(1)×6×8＝24.
答案：B
【题8】 已知点P是双曲线a2(x2)－b2(y2)＝1(a0，b0)右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＝S△IPF2＋2(1)S△IF1F2成立，则双曲线的离心率为()
A．4 B．2(5) C．2 D．3(5)
【解析】 由S△IPF1＝S△IPF2＋2(1)S△IF1F2得，|PF1|＝|PF2|＋2(1)×2c，P是右支上的点，所以|PF1|＝|PF2|＋2a，即有2(1)×2c＝2a，e＝2，选C.
【答案】 C
双曲线焦点三角形面积公式是啥
设∠f
pf
=α
双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1
因为p在双曲线上，由定义|pf
-pf
|=2a
在焦点三角形中，由余弦定理得
f
f
的平方=pf
平方+pf
平方-2pf
pf
cosα
=|pf
-pf
|平方+2pf
pf
-2pf
pf
cosα
(2c)^2=(2a)^2+2pf
pf
-2pf
pf
cosα
pf
pf
=[(2c)^2-(2a)^2]/2(1-cosα)
=2b^2/(1-cosα)
三角形的面积公式=1/2pf
pf
sinα
=b^2sinα/(1-cosα)
=b^2cot(α/2)
焦点三角形面积公式是什么？
焦点三角形面积公式是S=b²·tan(θ／2)（θ为焦点三角形的顶角）。双曲线有两个焦点。焦点的横（纵）坐标满足c²=a²+b²。
证明：
设P为椭圆上的任意一点P（不与焦点共线）。
∠F2F1P=α，∠F1F2P=β，∠F1PF2=θ。
焦点三角形面积S=b²·tan(θ／2)。
椭圆的焦点三角形：
是指以椭圆的两个焦点F1，F2与椭圆上任意一点P（不与焦点共线）为顶点组成的三角形。椭圆的焦点三角形性质为：
1、｜PF1|+|PF2|=2a。
2、4c²=|PF1|²+|PF2|²-2|PF1|·|PF2|·cosθ。
3、周长＝2a+2c。
4、面积＝S=b²·tan(θ／2)（∠F1PF2=θ）。