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双曲线焦点三角形面积公式(双曲线焦点三角形面积公式三个)

胜艺 2024-08-18 0

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双曲线焦点三角形的面积公式

设∠F₁PF₂=α

双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1

因为P在双曲线上,由定义|PF₁-PF₂|=2a

在焦点三角形中,由余弦定理得

F₁F₂的平方=PF₁平方+PF₂平方-2PF₁PF₂cosα

=|PF₁-PF₂|平方+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα

(2c)^2=(2a)^2+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα

PF₁PF₂=[(2c)^2-(2a)^2]/2(1-cosα)

=2b^2/(1-cosα)

三角形的面积公式=1/2PF₁PF₂sinα

=b^2sinα/(1-cosα)

=b^2cot(α/2)

双曲线焦点三角形面积公式推导是什么?

设∠F₁PF₂=α

双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1

因为P在双曲线上,由定义|PF₁-PF₂|=2a

在焦点三角形中,由余弦定理得

F₁F₂的平方=PF₁平方+PF₂平方-2PF₁PF₂cosα

=|PF₁-PF₂|平方+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα

(2c)^2=(2a)^2+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα

PF₁PF₂=[(2c)^2-(2a)^2]/2(1-cosα)

=2b^2/(1-cosα)

三角形的面积公式=1/2PF₁PF₂sinα

=b^2sinα/(1-cosα)

=b^2cot(α/2)

特征介绍

分支

可以从图像中看出,双曲线有两个分支。当焦点在x轴上时,为左轴与右轴;当焦点在y轴上时,为上轴与下轴。

焦点

在定义1中提到的两个定点称为该双曲线的焦点,定义2中提到的一给定点也是双曲线的焦点。双曲线有两个焦点。焦点的横(纵)坐标满足c=a+b。

双曲线焦点三角形面积公式推导

双曲线焦点三角形面积公式推导方法是:设双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1,根据余弦定理,F1F2^2=PF1^2+PF2^2-2|PF1||PF2|cosθ,||PF1|-|PF2||=2a,|F1F2|=2c,4c^2=4a^2+2|PF1||PF2|(1-cosθ),所以S△PF1F2=1/2|PF1||PF2|sinθ=b^2cot(θ/2)。

在数学中,双曲线(多重双曲线或双曲线)是位于平面中的一种平滑曲线,由其几何特性或其解决方案组合的方程定义。双曲线有两片,称为连接的组件或分支,它们是彼此的镜像,类似于两个无限弓。双曲线是由平面和双锥相交形成的三种圆锥截面之一。如果平面与双锥的两半相交,但不通过锥体的顶点,则圆锥曲线是双曲线。双曲线的每个分支具有从双曲线的中心进一步延伸的更直(较低曲率)的两个臂。对角线对面的手臂,一个从每个分支,倾向于一个共同的线,称为这两个臂的渐近线。

   双曲线焦点三角形性质:

1、双曲线焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线。

2、双曲线焦三角形中,过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点。

3、双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切。

4、双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点。

5、双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值a+c与a-c。

6、双曲线焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c。

7、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e。

双曲线焦点三角形面积公式

【题1】 已知F1,F2是双曲线4(x2)-y2=1的两个焦点,P是双曲线上一点,且∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积是().

A.1 B.2(5) C.2 D.

A 解析:解法一:设|PF1|=d1,|PF2|=d2,[来源:学_科_网]

由双曲线的定义可知|d1-d2|=4.又∠F1PF2=90°,

于是有d1(2)+d2(2)=|F1F2|2=20,

因此,=2(1)d1d2=4(1)(d1(2)+d2(2)-|d1-d2|2)=1.

解法二:由4(x2)-y2=1,知|F1F2|=2.

设P点的纵坐标为yP,由于∠F1PF2=90°,则P在以|F1F2|为直径的圆上,即在x2+y2=5上.[来源:学科网]

由x2-4y2=4,(x2+y2=5,)消去x得|yP|=5(5).

故△F1PF2的面积S=2(1)|F1F2|·|yP|=1.

【题2】 已知有相同两焦点F1、F2的椭圆m(x2)+y2=1(m1)和双曲线n(x2)-y2=1(n0),P是它们的一个交点,则△F1PF2的形状是()

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.随m、n变化而变化

【解析】 ∵|PF1|+|PF2|=2,|PF1|-|PF2|=±2,又m-1=n+1,

∴|PF1|2+|PF2|2=2(m+n)=4(m-1)=|F1F2|2.

【答案】 B

【题3】 已知双曲线a2(x2)-b2(y2)=1(a0,b0),其焦点为F1、F2,过F1作直线交双曲线同一支于A、B两点,且|AB|=m,则△ABF2的周长是()

A.4a B.4a-m

C.4a+2m D.4a-2m

[答案] C

【题4】 已知双曲线9(x2)-16(y2)=1的左、右焦点分别为F1、F2,若双曲线上一点P使∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积是()

A.12 B.16 C.24 D.32

[答案] B

[解析] 由定义||PF1|-|PF2||=6,

∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,

∵|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100,

∴|PF1||PF2|=32,

∴S△PF1F2=2(1)|PF1|·|PF2|=16.

【题5】 已知双曲线C:9(x2)-16(y2)=1的左、右焦点分别为F1、F2,P为C的右支上一点,且|PF2|=|F1F2|,则△PF1F2的面积等于()

A.24  B.36  C.48  D.96

[答案] C

[解析] 依题意得|PF2|=|F1F2|=10,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=6,∴|PF1|=16,因此△PF1F2的面积等于2(1)×16×2(16)=48,选C.

【题6】 已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,P点在C上,∠F1PF2=60°,则P到x轴的距离为()

A.2(3) B.2(6)

C. D.

解析 设|PF1|=m,|PF2|=n,不妨设mn,P(x,y),|PF1|-|PF2|=m-n=2.在△F1PF2中,由余弦定理得

(2)2=m2+n2-2mncos60°,

∴8=(m-n)2+mn.

∴mn=4.

由△F1PF2的面积相等,得

2(1)×2×|y|=2(1)mnsin60°,

即|y|=2(1)×4×2(3).

∴|y|=2(6).

即P到x轴的距离为2(6).

答案 B

【题7】 椭圆49(y2)+24(x2)=1与双曲线y2-24(x2)=1有公共点P,则P与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为 ()

A.48 B.24

C.24 D.12

解析:由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,5)和F2(0,-5),又由椭圆与双曲线的定义可得

||PF1|-|PF2||=2,(|PF1|+|PF2|=14,)所以|PF2|=6,(|PF1|=8,)或|PF2|=8.(|PF1|=6,)

又|F1F2|=10,

∴△PF1F2为直角三角形,∠F1PF2=90°.

因此△PF1F2的面积S=2(1)|PF1||PF2|=2(1)×6×8=24.

答案:B

【题8】 已知点P是双曲线a2(x2)-b2(y2)=1(a0,b0)右支上一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,I为△PF1F2的内心,若S△IPF1=S△IPF2+2(1)S△IF1F2成立,则双曲线的离心率为()

A.4 B.2(5) C.2 D.3(5)

【解析】 由S△IPF1=S△IPF2+2(1)S△IF1F2得,|PF1|=|PF2|+2(1)×2c,P是右支上的点,所以|PF1|=|PF2|+2a,即有2(1)×2c=2a,e=2,选C.

【答案】 C

双曲线焦点三角形面积公式是啥

设∠f

pf

双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1

因为p在双曲线上,由定义|pf

-pf

|=2a

在焦点三角形中,由余弦定理得

f

f

的平方=pf

平方+pf

平方-2pf

pf

cosα

=|pf

-pf

|平方+2pf

pf

-2pf

pf

cosα

(2c)^2=(2a)^2+2pf

pf

-2pf

pf

cosα

pf

pf

=[(2c)^2-(2a)^2]/2(1-cosα)

=2b^2/(1-cosα)

三角形的面积公式=1/2pf

pf

sinα

=b^2sinα/(1-cosα)

=b^2cot(α/2)

焦点三角形面积公式是什么?

焦点三角形面积公式是S=b²·tan(θ/2)(θ为焦点三角形的顶角)。双曲线有两个焦点。焦点的横(纵)坐标满足c²=a²+b²。

证明:

设P为椭圆上的任意一点P(不与焦点共线)。

∠F2F1P=α,∠F1F2P=β,∠F1PF2=θ。

焦点三角形面积S=b²·tan(θ/2)。

椭圆的焦点三角形:

是指以椭圆的两个焦点F1,F2与椭圆上任意一点P(不与焦点共线)为顶点组成的三角形。椭圆的焦点三角形性质为:

1、|PF1|+|PF2|=2a。

2、4c²=|PF1|²+|PF2|²-2|PF1|·|PF2|·cosθ。

3、周长=2a+2c。

4、面积=S=b²·tan(θ/2)(∠F1PF2=θ)。

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