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最小生成树
对于连通的带权图）连通网＊G，其生成树也是带权的。生成树T各边的权值总和称为该树的权，记作：权最小的生成树权最小的生成树称为G的最小生成树（Minimum SpannirngTree）。最小生成树可简记为MST。
设图为G=（V，E）避圈法： 以V上的空图为初始图进行加边操作，依次检查E的边，如果该边加到当前图上不产生圈则将该边加上，否则检查下一条未检查边直至所有边都被检查；破圈法：以G为初始图进行去边操作。
那么最小生成树就是n-1条边的边权之和最小的一种方案，简单的理解，就是用让这张图只剩下n-1条边，同时这n-1条边的边权总和最小。
在一个连通图中，最小生成树是指通过连接所有顶点，并且总权值最小的树。MST在很多实际问题中都有广泛的应用，比如网络设计、电力传输、城市规划等。
kruskal 算法的过程为不断对子图进行合并，直到形成最终的最小生成树。 prim 算法的过程则是只存在一个子图，不断选择顶点加入到该子图中，即通过对子图进行扩张，直到形成最终的最小生成树。
这就是最小生成树问题。构造最小生成树的基本原则（1）尽可能选取权值最小的边，但不能构成回路。（2）选择n－1条边构成最小生成树。常见的最小生成树算法有普里姆（Prim）算法和克鲁斯卡尔（kruskal）算法两种。
图的相关算法(二):最小生成树算法
1、普里姆（Prim）算法，也是求加权连通图的最小生成树的算法。基本思想 对于图G而言，V是所有顶点的集合；现在，设置两个新的集合U和T，其中U用于存放G的最小生成树中的顶点，T存放G的最小生成树中的边。
2、设图为G=（V，E）避圈法： 以V上的空图为初始图进行加边操作，依次检查E的边，如果该边加到当前图上不产生圈则将该边加上，否则检查下一条未检查边直至所有边都被检查；破圈法：以G为初始图进行去边操作。
3、最小生成树kruskal算法如下：假设存在联通图，图中所有的顶点集合为，集合表示已经加入到生成树中的顶点集合，集合表示未加入到生成树中的顶点集合。
prim和kruskal算法的区别
普里姆算法和克鲁斯卡尔算法区别如下：克鲁斯卡尔算法：是在剩下的所有未选取的边中，找最小边，如果和已选取的边构成回路，则放弃，选取次小边。
普里姆（Prim）算法 特点：时间复杂度为O（n2）.适合于求边稠密的最小生成树。克鲁斯卡尔（Kruskal）算法 特点：时间复杂度为O（eloge）（e为网中边数），适合于求稀疏的网的最小生成树。
反证法：假设prim生成的不是最小生成树 这里记顶点数v，边数e 邻接矩阵：O（v 2 ） 邻接表：O（e * log 2 v）Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。
不严谨的说：将全集分为遍历集合未遍历集。两种算法都是遍历集慢慢扩大为全集的过程。Kruskal：集合中元素是边，每次从未遍历集中找一个最短边，如果遍历集包含它后不会构成回路，就包含，重复过程直到所有点都连通。
克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为多少
1、Kruskal算法的时间复杂度由排序算法决定，若采用快排则时间复杂度为O（N log N）。kruskal算法：求加权连通图的最小生成树的算法。
2、克鲁斯卡尔算法是求连通网的最小生成树的另一种方法。与普里姆算法不同，它的时间复杂度为O（eloge）（e为网中的边数），所以，适合于求边稀疏的网的最小生成树。
3、在同样的图结构下，Prim算法的时间复杂度为O（N^2），其中N为节点数；而Kruskal算法的时间复杂度为O（ElogE），其中E为边数，因此在边数较多的情况下，Kruskal算法更快。
4、克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为O（eloge）（e为网中边的数目），因此它相对于普里姆算法而言，适合于求边稀疏的网的最小生成树。克鲁斯卡尔算法从另一途径求网的最小生成树。