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向量三角不等式(直角三角形公式)

luoke 2023-02-27 0

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什么叫向量的三角不等式,什么条件下成立?

三角不等式:

|a|-|b|≤|a+b|,它对任意实数都成立,其中等号成立的条件可以这样来理解,如果a,b都为0,显然等号成立,如果a=0,b不等于0,左边为负,右边为正,等号不成立,如果a不等于0,b等于0,等号显然成立。

当a,b都不为0时,根据有理数的加法法则可以知道a,b必为异号,且必须有|a|≥|b|因为|b|-|a|≤|a+b|且|a|-|b|≤|a+b|,所以|a+b|不小于|a|-|b|及它的相反数,所以||a|-|b|| |≤|a+b|。

向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣

①当且仅当a、b反向时,左边取等号。

②当且仅当a、b同向时,右边取等号。

2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣

①当且仅当a、b同向时,左边取等号。

②当且仅当a、b反向时,右边取等号。

关于向量加减的三角不等式

当向量a,b至少一个为零向量,等号均成立。

当向量a,b均不为零向量:

若a‖b,a与b方向相同,

|a|+|b|=|a+b|,|a-b|=||a|-|b||。

若a‖b,a与b方向相反,

|a|+|b|=|a-b|,|a+b|=||a|-|b||。

注:应为||a|-|b||≤|a±b|≤||a|+|b||.

向量不等式有哪些?

向量不等式有如下:

1、基本不等式:

√(ab)≤(a+b)/2,那么可以变为 a^2-2ab+b^2 ≥ 0,a^2+b^2 ≥ 2ab,ab≤a与b的平均数的平方。

2、绝对值不等式公式:

| |a|-|b| |≤|a-b|≤|a|+|b|。

| |a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|。

3、柯西不等式:

设a1,a2,…an,b1,b2…bn均是实数,则有(a1b1+a2b2+…+anbn)^2≤(a1^2+a2^2+…an^2)*(b1^2+b2^2+…bn^2) 当且仅当ai=λbi(λ为常数,i=1,2.3,…n)时取等号。

4、三角不等式

对于任意两个向量b其加强的不等式,这个不等式也可称为向量的三角不等式。

5、四边形不等式

如果对于任意的a1≤a2b1≤b2,有m[a1,b1]+m[a2,b2]≤m[a1,b2]+m[a2,b1],那么m[i,j]满足四边形不等式。

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