本文目录一览：
- 1、什么是数学的特征根法
- 2、什么是特征根?
- 3、何为特征根法?
- 4、特征根法的原理
- 5、特征根是什么意思？
什么是数学的特征根法
定义 特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法。 特征根法也可用于求递推数列通项公式，其本质与微分方程相同。 r*r-p*r-q称为对递推数列: a(n+2)=pa(n+1)+qan的特征方程。 [编辑本段]方法 对微分方程： 设特征方程r*r-p*r-q=0两根为r1，r2。 1 若实根r1不等于r2 y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x). 2 若实根r1=r2 y=(c1+c2x)*e^(r1x) 3 若有一对共轭复根（略） 1 若特征方程有两个不等实根r1,r2则an=c1*r1^n+c2*r2^n 其中常数c1,c2由初始值a1=a,a2=b唯一确定。 (1) c1r1+c2r2=a; (2) c1r1^2+c2r2^2=b 2 若特征方程有两个相等实根r1=r2=r an=(c1+nc2)r^n 其中常数c1,c2由初始值唯一确定。 (1) a=(c1+c2)r (2) b=(c1+2c2)r^2 一类重特征根对方程解的简便解法 对于常系数齐次线性微分方程组dX/dt=AX,当矩阵A的特征根λi(i=1,…,r)的重数是ni(≥1),对应的mi个初等因子是(λ-λi)ki1,…,(λ-λi)kimi,ki1+…+kimi=ni时,它对应方程中ni个线性无关解,其结构形如Xi(t)=(P(i)1(t),…,P(i)n(t))'eλ(i),此时多项式P(i)j(t)的次数小于等于Mi-1,(Mi=max{ki1…,kimi}).由于Mi计算起来非常困难,本文利用相似矩阵的特点和Jordan标准型在Mi-1与ni-1之间找到了一个便于应用的多项式P(i)j(t)次数的上界,使计算起来更加方便和有效.
求采纳
什么是特征根?
定义
特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法.
特征根法也可用于求递推数列通项公式,其本质与微分方程相同.
r*r+p*r+q称为对递推数列:a(n+2)=pa(n+1)+qan的特征方程.
方法
对微分方程：
设特征方程r*r+p*r+q=0两根为r1,r2.
1 若实根r1不等于r2
y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x).
2 若实根r1=r2
y=(c1+c2x)*e^(r1x)
3 若有一对共轭复根（略）
对递推数列：如何用特征方程求数列的通项?
数列：满足An+2 + s*An+1 + t*An=0
则其对应的特征方程为：x^2 +sx+t=0 ,设其两根为α、β
1).当α≠β时,An=k*α^(n-1) + m*β^(n-1)
2).当α＝β时,An=(kn+m)*α^(n-2)
其中k、m的值的求法,用A1、A2的值代入上面的通项公式中,建立方程组解之即可
(1).数列满足：An+2 -4*An+1 +4An=0 ,A1=1 ,A2=2 ,求通项An
特征方程为 (x-2)^2=0 ,所以α＝β＝2
设An=(kn+m)*α^(n-2) ,
所以(k+m)/2 = 1 ,(2k+m)=2 ,解得：k=2 ,m=0
所以An=(kn+m)*α^(n-2)=n*2^(n-1)
(2).裴波那契数列满足：An+2 -An+1 -An=0 ,A1=1 ,A2=1 ,求通项An
特征方程为 x^2 -x-1=0 ,所以α=(1-√5)/2 ,β=(1+√5)/
设An=k*α^(n-1) + m*β^(n-1) ,则有
k + m = 1 ,k*(1-√5)/2 + m*(1+√5)/2 = 1
解得：k=-(√5/5)*α ,m=(√5/5)*β
所以An= (√5/5)*β^n - (√5/5)*α^n
1 若特征方程有两个不等实根r1,r2则an=c1*r1^n+c2*r2^n
其中常数c1,c2由初始值a1=a,a2=b唯一确定.
(1) c1r1+c2r2=a;
(2) c1r1^2+c2r2^2=b
2 若特征方程有两个相等实根r1=r2=ran=(c1+nc2)r^n
其中常数c1,c2由初始值唯一确定.
(1) a=(c1+c2)r
(2) b=(c1+2c2)r^2
一类重特征根对方程解的简便解法
对于常系数齐次线性微分方程组dX/dt=AX,当矩阵A的特征根λi(i=1,…,r)的重数是ni(≥1),对应的mi个初等因子是(λ-λi)ki1,…,(λ-λi)kimi,ki1+…+kimi=ni时,它对应方程中ni个线性无关解,其结构形如Xi(t)=(P(i)1(t),…,P(i)n(t))'eλ()i,此时多项式P(i)j(t)的次数小于等于Mi-1,(Mi=max{ki1…,kimi}).由于Mi计算起来非常困难,本文利用相似矩阵的特点和Jordan标准型在Mi-1与ni-1之间找到了一个便于应用的多项式P(i)j(t)次数的上界,使计算起来更加方便和有效.
何为特征根法?
特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法。特征根法也可用于求递推数列通项公式，其本质与微分方程相同。
特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法。特征根法也可用于求递推数列通项公式，其本质与微分方程相同。特征根法在求递推数列通项中的运用，各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题需要用到。
特征根法的原理
特征根法是数学中解常系数线性微分方程的一种通用方法。特征根法也可用于通过数列的递推公式（即差分方程，必须为线性）求通项公式，其本质与微分方程相同。例如 称为二阶齐次线性差分方程： 加权的特征方程。
定义
特征根法是解常系数线性微分方程的一种通用方法。
特征根法也可用于通过数列的递推公式（即差分方程，必须为线性）求通项公式，其本质与微分方程相同。
称为二阶齐次线性差分方程：
加权的特征方程。
扩展资料：
利用特征根法解方程
对微分方程：
设特征方程
两根为r1、r2。 [1]
① 若实根r1不等于r2
② 若实根r1=r2
③ 若有一对共轭复根a±bi
对差分方程：
1） 若特征方程有两个不等实根r1、r2，
则
其中常数c1、c2由初始值a1=a、a2=b 唯一确定。
(1)
(2)
2） 若特征方程有两个相等实根r1=r2=r
其中常数c1、c2由初始值唯一确定。
(1)
(2)
3 ）若特征方程有一对共轭复根
，则有
特征根是什么意思？
特征根是特征方程的根。
单根是只有一个，与其他跟都不相同的根。
二重根是有两个根相同。
所谓重根就是指方程（当然是指n次（n=2））根，但是这些根可能有几个是一样的，就把这几个一样的叫做重根，有几个就叫做几重根。比如说，方程（x-1）^2=0,这个方程可以写成是（x-1）*（x-1）=0，所以x1=x2=1，就把x=1叫做方程的二重根。
扩展资料：
特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法。
特征根法也可用于求递推数列通项公式，其本质与微分方程相同。
r*r+p*r+q称为对递推数列: a(n+2)=pa(n+1)+qan的特征方程。
设特征方程r*r+p*r+q=0两根为r1，r2。
若实根r1不等于r2
y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x).
若实根r1=r2
y=(c1+c2x)*e^(r1x)
参考资料来源：百度百科-特征根法